人工智能通识-科普-逻辑

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量化Quantify

量化，用量词来进行修饰限制对象。
逻辑学最常用的是全部∀（倒写的A，即All），存在∃（反写的E，即Exists）。

量化，可以解决一些无限但重复的问题，比如：
1×2=1+1,2×2=2+2,3×2=3+3,4×2=4+4,...100×2=100+100...
可以简化表示为
`对全部n来说n×2=n+n或者表示为 $\forall n(n×2\Leftrightarrow n+n)$

对于以下命题：
小明的朋友都喜欢唱歌或跳舞
以小 $x$ 代表小明的一个朋友，以大 $X$ 代表小明的所有朋友，以 $P$ 表示跳舞， $P(x)$ 表示朋友 $x$ 喜欢跳舞，同样 $Q(x)$ 表示朋友 $x$ 喜欢唱歌。那么上面的命题可以表述为：

$\forall x\in X,P(x)\vee Q(x)$

就是说对于集合X中的任意一个朋友， $P(x)$ 或 $Q(x)$ 至少有一个为真。其中 $\vee$ 表示析取,即只要 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 有一个成立即可。

命题逻辑Propositional Logic

有时也叫零阶逻辑Zeroth-order logic，命题中不包含量词或变量，但可以有条件和推理。

比如下面的推理：

前提1：如果下雨，就是阴天。
前提2：下雨了。
结论：是阴天

用 $P$ 表示下雨， $Q$ 表示阴天，那么这个可以简写为：
$\begin{align} &前提1：P\rightarrow Q\\ &前提2：P\\ &结论： Q\\ \end{align}$
用 $\vdash$ 表示推导出，可以进一步简写为：
$P\rightarrow QP\vdash Q\\\\$

谓词Predicate

谓词可以当做一个返回真假布尔值的函数，比如brothers(tom,mike)表示tom和mike是否为兄弟，结果为是True或否Flase，这里brothers就是谓词函数。

一阶逻辑First-order Logic

一阶逻辑可以包含谓词和量化。
例如，对于苏格拉底是哲学家和柏拉图是哲学家这两句,命题逻辑认为它们是没有关系的，但在一阶逻辑中，它们具有a是哲学家这样的相同结构，这是因为在一阶逻辑中可以识别谓词是哲学家这个返回真假的函数。

对于如果a是哲学家，那么a是学者这句，包含了假设，它的谓词是是一个哲学家和是一个学者。

亚里士多德的经典三段论可以表示成一阶逻辑：

大前提：所有人都会死
小前提：小明是人
结论：小明会死

表示成逻辑符号公式为：
$\forall x(y\in X,P(x)\rightarrow P(y))$

一阶逻辑最常用的量词就是全称量词 $\exists$ 和存在量词 $\forall$

高阶逻辑HOL,Higher-order Logic

一阶逻辑只能量化对象，不能量化谓词，而高阶逻辑可以对谓词进行量化。

例如任意 $x$ 、 $y$ ,如果 $x$ 和 $y$ 相等，那么对于任意性质 $P$ ，都有 $P(x)$ 与 $P(y)$ 相等，这句话就无法用一阶逻辑表达，因为对任意性质这一条谓语无法用一阶逻辑进行量化。

上面这句话用高阶逻辑表达的就是：
$\forall x,y(x=y\rightarrow \forall P(P(x)\Leftrightarrow P(y))$

在编程中经常把函数（或函数指针）当做参数传递的现象，本质也是高阶函数的体现。

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